Question

高等数学，曲面积分，高斯公式

用高斯公式对一个上半球面积分，添加一个底面让它成为封闭曲面。

这时候问题出现了，对封闭曲面积分后，是要减去这个辅助面的积分呢还是要加上辅助面的积分？

一本书里是加的，另一本里是减的，我困惑了。。
对外侧积分和对上侧积分有什么不一样吗？

Answer 1

要减去,减去的是添加曲面上的第二类曲面积分.
而算这个第二类曲面积分的时候,就涉及你添加的这个曲面的侧了,取上侧就是减去正的就是减,取下侧就是减去负的,就加
计算三重积分的时候也涉及到封闭曲面的侧.
所以用高斯公式的时候要考虑两个正负,第一个是高斯公式的正负,第二个是第二类曲面积分转换成二重积分的正负.

楼上的回答的都不准确,都跨过了化第二类曲面积分为二重积分的说明,这也是这样的问题困惑了很多人的原因.

补充:
外侧,内侧是用高斯公式要考虑正负的判断的
上侧,下侧是第二类曲面积分化二重积分时判断的

Answer 2

如果计算辅助面的积分的法向和计算封闭曲面积分式用的法向(应该是向外)同向的话,那么应该把
封闭曲面积分-辅助面的积分
如果计算辅助面的积分的法向是与计算封闭曲面积分式用的法向反向的话,就应该是
封闭曲面积分+辅助面的积分

Answer 3

是要减去这个辅助面的取外侧的积分，你要看那个辅助面是什么侧啊，