Question

求证:一元三次方程有一个或三个实数根,而不可能只有两个或没有实数根

Answer 1

我觉得这个命题前半部分是错的，不可能没有，但是存在只有两个实数根情况。如图所示。

f(x) = x³ + 3x² + x + 1

假设这个点在f(x)的一个极值点，这个点的坐标是（x1,y1）那么g(x)=f(x)-y1就是只有两个实数解，相当于函数整体数值方向往下平移y1。

Answer 2

我认为这个命题是正确的，因为设ax^3+bx^2+cx+d=0
A=a^2-3ac,B=bc-9ad,C=c^2-3bd，Δ=B^2－4AC
当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。
当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
所以一元三次方程有三个或一个实根
但也可能其中两根相等

Answer 3

此命题错误！更不用说求证了。你看看我发的图片就晓得了。

Answer 4

虚根总是成对出现，一对共轭复根，证毕

Answer 5

用中值定理证