Question

数学题有点难

已知二次函数y=x^2+2mx-n^2
1.若此二次函数图像经过点（1，1），且记m，n+4两书中较大者为p试求p最小值 已求出为2
2.若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线。如果每条抛物线与坐标轴的有三个不同的交点，而过这三个交点做圆。证明：这些圆都过同一个点，并求出该顶点坐标？

Answer 1

代入（1，1）
1+2m-n²=1
2m=n²
m=n²/2
m，n+4两书中较大者为p
就是n²/2，n+4两书中较大者为p
求p最小值，当n²/2=n+4时最小
n²-2n-8=0
（n-1）²=9
n=4或n=-2
当n=-2时，p取最小值为2

与坐标轴的有三个不同的交点
令x=0
y=-n^2所以与y轴交点（0，-n²）
令y=0
x²+2mx-n²=0
x²+2mx+m²-m²-n²=0
（x+m）²=m²+n²
x=-m+根号（m²+n²），或x=-m-根号（m²+n²）
所以与x轴交点坐标（-m+根号（m²+n²），0）（-m-根号（m²+n²），0）
可知二次函数y=x^2+2mx-n^2与y轴有且只有一个交点，
所以圆与y轴相切于（0，-n²）
顶点纵坐标为-n²
过顶点做x轴垂线，由圆的性质，垂线平分两个交点的弦
所以横坐标为（-m+根号（m²+n²）-m-根号（m²+n²））/2=-m
顶点坐标（-m，-n²）
因为圆与y轴相切，所以半径为-m