Question

一道二次分式求最值的问题。

求 （3m+1）平方
——————（分数线） （m∈R）
5m平方+6m+2
的最大值。 请教高手传授方法!

Answer 1

解:像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法" (核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2) 分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)

注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成At+B(1/t)+C的形式,若A,B同号,则根据基本不等式求解;若A,B异号,则根据单调性求解. (dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了

做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键

Answer 2

解:像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法"
(核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2)
分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)
注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成At+B(1/t)+C的形式,若A,B同号,则根据基本不等式求解;若A,B异号,则根据单调性求解.
(dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了
做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键

Answer 3

解:像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法"(核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值)
具体方法如下:设y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2)分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边,然后以m为主元进行整理,得:(5y-9)m^2+(6y-6)m+(2y-1)=0
因为该函数的值域存在,即y存在,故这个方程的判别式△>=0
即△=(6y-6)^2-4(5y-9)(2y-1)>=0
整理得:y(y-5)<=0
故0<=y<=5
所以该式的最大值为5
(如果分母有可能为0,那么就先将分母可能为0的情况讨论一下)
注:如果是(ax^2+bx+c)/(dx+e)型的,令t=dx+e,求得x=(t-e)/d,代入分子
然后化成at+b(1/t)+c的形式,若a,b同号,则根据基本不等式求解;若a,b异号,则根据单调性求解.(dx+e)/(ax^2+bx+e)型的同上,化到分母上做就行了
做最值问题,关键要选择方法.常用的就三个:函数,方程,不等式
函数大概70%,方程20%,不等式10%.三者要会互相转化,是做好最值题的关键