Question

已知｛a,b,c}是空间的一个基底，求证：｛a+b,a-b,c}也构成空间的一个基底

已知｛a,b,c}是空间的一个基底，求证：｛a+b,a-b,c}也构成空间的一个基底

Answer 1

方法一：等价于证明过渡矩阵可逆。由定义直接写出过渡矩阵后求得行列式为-2，不等于0，所以可逆

方法二：只要证明a,b,c都能由{a+b,a-b,c}表出即可：
a=1/2[(a+b)+(a-b)]，
b=1/2[(a+b)-(a-b)],
c=c

Answer 2

思路：只要推出c=p(a+b)+q(a-b),且有解即可

所以想要推出c=pa+pb+qa-qb
所以想要推出c=(p+q)a+(p-q)b
由题意可知c=ma+nb
所以当①p+q=m②p-q=n时
即p=(m+n)/2;q=(m-n)/2时
｛a+b,a-b,c}也构成空间的一个基底

Answer 3

证明基底就是证明两两差乘等于零.已知基底就是已知的三个量两两差乘等于零而且模相等.相信下面的你会了哈@_<