Question

已知一个圆与Y轴相切，圆心在X—3Y=0上，且在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7，求此圆的标准方程。

此题答案上有两个结果，不知怎么来的？急！！！

Answer 1

答案是：（X+1/4）^2+(Y+1/12)^2=1/16
或
（X-1/4）^2+(Y-1/12)^2=1/16

分析思路：1.与Y轴相切:R(半径)=圆心X轴坐标. (以下设圆心坐标为a、b)
2.圆心在X—3Y=0上: 则X=3Y, a=X=R
b=3Y=R/3

3.在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7: 弦长=四分之根号七
利用点到直线距离公式。得，圆心到直线Y=X的距离：
|a-b|/根号2。
4.直线Y=X与圆相交的弦、半径、圆心到直线Y=X的垂线形成直
角三角形。（利用勾股定理）得：

(|a-b|/根号2)^2=R^2-(四分之根号七)^2 由于:a=X=R
b=3Y=R/3
得: (R-R/3)^2/2=R^2-7/16
8*4/9R^2=16R^2-7 (等式两边同乘16)
112R^2=7
R=1/4(正或负)
由于 R=a=3b=1/4(正或负)
则 b=1/12(正或负)

Answer 2

因为圆心在X—3Y=0上,设圆心坐标为（3y,y)，又因为圆与Y轴相切，所以半径为3|y|,故圆的方程可写为
（X-3y)^2+(Y-y)^2=9y^2
令X=Y,带入上式得X^2-4yX+y^2/2=0为直线Y=X与圆的交点（X1,X1)和(X2,X2)满足的方程，因为圆在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7，所以2(X1-X2)^2=28，即
2[(4y)^2-4*(y^2/2)]=28
所以y=1或-1,所以圆的方程为（X-3)^2+(Y-1)^2=9
或（X＋3)^2+(Y＋1)^2=9

Answer 3

设圆心(a,a/3)，半径为r，圆心到直线y=x的距离为d
圆的方程则为(x-a)2+(y-a/3)2=r2
已知一个圆与Y轴相切，得半径等于其圆心横坐标，即r=a
由圆在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7，可以知道r2-d2=7
点到直线距离公式，则圆心到直线y=x的距离d=(a-a/3)/根号2
有上述方程，解得
d=(根号2)*a/3
代入，得a2-2*a2/9=7，解得a=+1/3或-1/3
所以圆的方程有两个