Question

一道有关椭圆的高中数学题

椭圆左右焦点为F1,F2,椭圆上一点P使得<F1PF2=90°，求离心率的范围

Answer 1

题目转化为 以F1F2为直径的圆 与椭圆有交点 归为下列方法
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解答题的话
圆的方程： X^2+y^2=c^2
椭圆上的点 (acosx,bsinx)代入圆的方程
得 a^2cos^2x+b^2sin^2x=c^2
即 (a^2-b^2)cos^2x +b^2cos^2x+b^2sin^2x==c^2cos^2x+b^2=c^2
即c^2(1-cos^2x)=b^2 即 b^2/c^2=(1-cos^2x)
1+b^2/c^2=a^2/c^2=1/e^2=2-cos^2x=1+sin^2x
得e根号下(1/(1+sin^2x))
1>=sin^2x>=0
所以>1e>=根2/2
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选择题做法
椭圆与圆相交,只要满足焦距大于等于短轴长(自己画图领悟。主要原因是椭圆上到原点最近的是短轴端点)
即b<=c
b<=c
b^2<=c^2
b^2+c^2>=2C^2
a^2<=2c^2
c^2/a^2>=1/2
所以e>=根2/2
又因为椭圆1>e>0
所以1>e>=根2/2