Question

一道高中数学题 关于椭圆的

设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率是根号3/2,并且椭圆与圆x^2+y^2-4x-2y+5/2=0交于A、B两点，若线段AB的长等于圆的直径。（1）求直线AB的方程（2）求椭圆方程

Answer 1

.解：(1)由题意得e=√3/2,所以c²=0.75a²,所以b²=0.25a²,所以设椭圆为x²+4y²=a²，
由圆x^2+y^2-4x-2y+5/2=0，得
(x-2)^2+(y-1)^2=5/2
因为线段AB的长等于圆的直径，所以直线AB必过圆心P(2，1），P必为线段AB中点，
由已知可得，直线AB的斜率一定存在，所以设直线AB为y-1=k(x-2),y-1=k(x-2)与x²+4y²=a²联立得
（1+4k²)x²-4(4k²-2k)x+4(2k-1)²=0,
由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2=4=4(4k²-2k)/（1+4k²),
所以k=-(1/2),
所以直线AB的方程是x+2y-4=0

(2) 由题1得y1+y2=2，x+2y-4=0 与x²+4y²=a²联立得
8y²-8y+16-a²=0,
AB²=[1+(-2)]*[(y1+y2)²-4y1*y2]=5*[4-（16-a²)/2]=(2√(5/2))²=10,
所以a²=12,
b²=0.25a²=3,
所以椭圆的方程为x²/12+y²/3=1