Question

高等数学问题2

求极限！
谢谢！

Answer 1

第一题解答：
由于上限趋向于0，所以分子也趋向于0，符合罗毕达法则。
分子的导数 = sin(2x²)
分母的导数 = 3x²
lim sin(2x²)/3x²
x→0
=⅔lim sin(2x²)/2x²
x→0
=⅔ （答案）

第二题解答：
分析同上。
分子的导数 = sinx³
分母的导数 = 4x³
lim sinx³/4x³ = ¼
x→0

第三题解答：
分析同上。
分子的导数 = 2xsinx²
分母的导数 = 4x³

原极限 =
= lim 2xsinx²/4x³
x→0
= ½lim sinx²/x²
x→0
= ½

或：
分子的二阶导数 = 2sinx² + 4x²cosx²
分母的二阶导数 = 12x²
分子的三阶导数 = 4xcosx² + 8xcosx² - 8x³sinx² = 12xcosx² - 8x³sinx²
分母的三阶导数 = 24x
分子的四阶导数 = 12cosx² - 24x²sinx² - 24x²sinx² - 16x⁴cosx²
= 12cosx² - 48x²sinx² - 16x⁴cosx²
分母的四阶导数 = 24

原极限 =
= lim 2xsinx²/4x³
x→0
= lim (2sinx² + 4x²cosx²)/12x²
x→0
= lim (12xcosx² - 8x³sinx²)/24x
x→0
= lim (12cosx² - 48x²sinx² - 16x⁴cosx²)/24
x→0
= 12/24
= ½

Answer 2

（1）因为∫(x,0) sin2t²dt 中，积分上下限都为0，所以∫(x,0) sin2t²dt 趋于0
∫(x,0) sin2t²dt 的导数为（sin2x²）-sin0 = sin2x²

所以，lim∫(x,0) sin2t²dt / x³ 用罗比达法则得：
= lim sin2x² / 3x² (由等价无穷小，当2x²趋于0时， sin2x² ~ 2X²)
= lim 2x²/3x²
= 2/3

(2)当x趋于0时，∫(x,0) sint³dt 趋于0
∫(x,0) sint³dt 的导数为 sinx³ - sin0³ = sinx³
lim ∫(x,0) sint³dt /x^4
= lim sinx³ / (4x³) (由等价无穷小，当x³趋于0时， sinx³ ~ x³)
= lim x³/ 4x³
=1/4

(3)同上
(∫(x²,0) sintdt)′ = （x²）′sinx - sin0 = 2x sinx
lim (∫(x²,0) sintdt) / x^4
= lim 2xsinx² / 4x³
= lim 2x·x²/4x³
= 1/2

积分的求导是：积分上限导数×积分上限 带入 积分里函数 - 积分上限导数×积分下限 带入 积分里的函数

∫(x,0) f(t) dt 的导数为： (x′)f(x) - (0′)f(0) = f(x)
∫(x²,0) f(t) dt 的导数为： (x²)′f(x²) - (0²)′f(0) = 2xf(x²)