Question

若曲线C：y=1+√(4-x²） 与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同交点，实数k的取值范围是

要过程 半小时内追加20分
若曲线C：y=1+√(4-x²） 与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同交点，实数k的取值范围是

Answer 1

y=1+√(4-x²)>=1
可以化成x²+(y-1)²=4
所以是这个圆在y=1上方的部分
设他和y=1的两个交点是A 和B，A在B左边

直线y-4=k(x-2)
所以过P(2,4),
k就是斜率

画图可知，曲线是个半圆
PA和半圆有一个交点
同时过P的一条切线也和半圆有一个公共点
则在这之间的直线和半圆有两个交点

P(2,4),A(-2,0)
所以PA斜率=1

设切线是y-4=k(x-2)
kx-y+4-2k=0
圆心(0,1)到切线距离等于半径r=2
|0-1+4-2k|/√(k²+1)=2
平方
4k²-12k+9=4k²+4k
k=9/16

所以9/16<k<1