Question

高中数学数列问题，求高手解答

已知数列｛an｝前n项和为Sn，a1=a，且满足an+1=Sn+3n，n∈N，
（1） bn=Sn-3n，求｛bn｝的通项公式。
（2）若an+1≥an，n∈N，求a的取值范围。
a(n+1)的（n+1)为下标，3n为3的n次方

Answer 1

an+1=Sn+3^n

递推之

an =sn-1 + 3^(n-1)

两式相减

得

an+1 - an = an + 2 * 3^(n-1)

an+1 = 2an +2*3^(n-1)

an+1 + 2*3^(n-1) = 2(an +2*3^(n-1))

{an + 2*3^(n-1)}是首项为 a+2*3^(n-1) 公比为2的等比数列

an + 2*3^(n-1) = (a+2*3^(n-1)) * 2^(n-1)

an = (a+2*3^(n-1)) * 2^(n-1) -2*3^(n-1)

(1) an+1=Sn+3^n

sn = an+1 -3^n

bn=Sn-3^n

bn = an+1 -2*3^n

an+1 =(a+2*3^n) * 2^n -2*3^n

所以 bn =(a+2*3^n) * 2^n -4*3^n

(2)
an+1≥an 即

(a+2*3^n) * 2^n -2*3^n≥ ((a+2*3^(n-1)) * 2^(n-1) -2*3^(n-1)

最终得到

a≥[4*3^(n-1)] / 2^(n-1) -10*3^(n-1)

Answer 2

估计楼主的题目出错了，从题意来看，第一问中的bn应该是构造一个特殊的数列，而这里的bn却并不是什么特殊数列，注意检查一下系数
an+1=Sn+3^n
Sn+1-Sn=Sn+3^n
Sn+1=2Sn+3^n
bn=Sn-3^n
bn+1=Sn+1-3^(n+1)=2Sn+3^n-3·3^n＝2Sn-2·3^n＝2（Sn-3^n）＝2bn
所以bn是公比为2的等比数列

Answer 3

解：(1)由a1=a，a（n+1）=Sn+3^n可得a2=a+3
递推得a（n+2）=S(n+1)+3^(n+1),
相减得a（n+2）- a（n+1）= S(n+1)+3^(n+1)- （Sn+3^n）
又S(n+1)- Sn= a（n+1）
所以a（n+2）=2a（n+1）+3^n
可得a（n+2）-3^(n+1)=2[a（n+1）-3^n]
所以{ a（n+1）-3^n}是首项为a2-3=a，公比为2的等比数列。
所以当n>=1时，a（n+1）-3^n=a*2^(n-1)
即a（n+1）=3^n+a*2^(n-1)
所以Sn= a*2^(n-1)
所以bn=Sn-3^n= a*2^(n-1)- -3^n
(2)当n=1时，a2>a1
当n>=2时，3^n+a*2^(n-1)>=3^(n-1)+a*2^(n-2)
解得a>=-3^(n-1)/2^(n-2)
所以a>=[-3^(n-1)/2^(n-2)]max=-3
即a>=-3