Question

设常数a>=0,函数f(x)=x-ln^2x+2alnx-1(x>0)

(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比较g(x)的最小值与零的大小
(2)求证:f(x)在x>0上是增函数
(3)求证:当x>1时,恒有x>ln^2x-2alnx+1

Answer 1

(1) f'(x)=1-(2lnx)/x+(2a)/x; 故
F(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a; 所以
F'(x)=1-2/x.
当1-2/x<0, 即 0<x<2时，F(x)单减；
当1-2/x>0, 即 x>2时，F(x)单増；
从而，当 x=2 时 F(x)取极小值为 2-2ln2+2a

(2) f'(x)=F(x)/x.
在(1)中已证，当x>1时,F(x)的最小值为F(2)=2-2ln2+2a >0 (因为ln2<1),
所以当x>1时，f'(x)=F(x)/x>0, 即f(x)单増，故
f(x)>f(1)=0; 也即 x>ln^2 x-2alnx+1 在x大于1时恒成立