Question

已知常数a>0，函数f(x)=ln(1+ax)-2x/x+2

Answer 1

（1）f'(x)=a/(1+ax)-[2(x+2)-2x]/(x+2)^2
=a/(1+ax)-4/(x+2)^2
求不等式f'(x)>0
(ax^2+4ax+4a-4-4ax)/(1+ax)(x+2)^2>0
(ax^2+4a-4)>0
(x^2+4-4/a)>0
当a>=1时，x>0
当0<a<1时，x>√(4/a-4)
所以当a>=1时，函数f(x)在x>0上单调递增
当0<a<1时，函数f(x)在x>2√(1/a-1)上单调递增；在0<x<2√(1/a-1)上单调递减
（2）f'(x)=a/(1+ax)-4/(x+2)^2=0
(ax^2+4a-4)/(1+ax)(x+2)^2=0
x^2+4-4/a=0
当0<a<1时，f(x)存在两个不同的极值点，且x1+x2=0 x1x2=(4-4/a)
f(x1)+f(x2)
=ln(1+ax1)(1+ax2)-2x1/(x1+2)-2x2/(x2+2)
=ln[1+a(x1+x2)+ax1x2]-(4x1x2+4x1+4x2)/[x1x2+2(x1+x2)+4)
=ln(1+4a-4)-(16-16/a)/(4-4/a+4)
=ln(4a-3)-(4a-4)/(2a-1)
=ln(4a-3)-2+2/(2a-1)
根据定义域，a>3/4，且0<a<1，即3/4<a<1
令f(a)=ln(4a-3)+2/(2a-1)-2
f'(a)=4/(4a-3)-4/(2a-1)^2
=(16a^2-16a+4-16a+12)/(4a-3)(2a-1)^2
=16(a-1)^2/(4a-3)(2a-1)^2
恒>0
所以f(a)在a>3/4上严格单调递增
因为f(1)=0
所以当3/4<a<1时，f(x1)+f(x2)<0

Answer 2

给一些已知条件选择题中就会直接给你选大题一般先叫你求然后要求反比例函数