Question

高二数学（理科）

双曲线2X2-Y2=2
1.求以斜率为1的双曲线的弦的中点的轨迹方程
2.过点B(1,1)能否作直线l,使其与所给的双曲线交于P Q两点，且点B是PQ的中点？如有，求其方程。

谢谢大家 ～～～
可以只答第一题

Answer 1

1、
双曲线2x^2-y^2=2的a=1,b=√2
c^2=a^2+b^2=3,c=√3
渐近线方程y=±bx/a=±x√3
设y=x+b为斜率=1的直线方程
代入双曲线方程得：2x^2-x^2-2bx-b^2=2
x^2-2bx-(b^2+2)=0
x1+x2=2b,(x1+x2)/2=b,(y1+y2)/2=(x1+x2)/2+b=2b
b=0时，中点在原点
b≠0是，中点的坐标设为（X,Y)
有Y/X=2b/b=2
所以，以斜率为1的双曲线的弦的中点的轨迹方程为y=2x
2、假设存在这样的直线，设其斜率k,直线方程为y=kx+b
由于直线过B（1,1）,则有1=k+b,b=1-k
故有，y=k(x-1)+1
将y=k(x-1)+1代入双曲线方程得：
2x^2-k^2(x-1)^2-2k(x-1)-1=2
(2-k^2)x^2+2k(k-1)x+2k-k^2-3=0
据求根公式：x1+x2=-B/A=-2k(k-1)/[2-k^2)=2xb=2
4-2k^2=-2k^2+2k,k=2
故，y=2x-2+1=2x-1即为所求直线方程