Question

如图,在等边三角形ABC中,D、E分别是BC、AC上的点,且AE=CD,AD与BE交于F,

AF=二分之一BF，求证CF⊥BE

Answer 1

取BF中点P，连接CP交AD于Q
则：AF=BF/2=BP
因为：AE=CD，AC=AB，∠C=∠A=∠B
所以：△ABE≌△ADC，△ABD≌△BCE
所以：∠AEB=∠ADC，∠BAF=∠CBE
所以：△AEF∽△ADC
所以：∠C=∠AFE=PFQ=60°
因为：AF=BP，∠BAF=∠CBE，AB=BC
所以：△ABF≌△BPC
所以：BF=PC，∠AFB=∠BPC
因为：∠AFE=180°-∠AFB=180°-∠BPC=∠QPF=60°
所以：三角形PQF为等边三角形FQ=PQ=PC/2
所以：FQ为RT三角形PQF斜边中线
所以：CF垂直BE

另外:

在AB上取点G，使BG=CD=AE，连接GC与BE交于H，与AD交于I

因为 三角形ABC等边
所以 BC=AC=AB，角ABC=角BCA=角CAB=60度
因为 BG=CD=AE
所以 三角形GBC全等于三角形DCA全等于三角形EAB
所以 角BCG=角CAD=角ABE
因为 角ABC=角BCA=角CAB=60度
所以 角EBC=角GCA=角DAB
因为 BC=AC=AB，角BCG=角CAD=角ABE
所以 三角形BCH全等于三角形CAI全等于三角形AFB
所以 BF=CH=AI，BH=CI=AF
因为 AF=1/2BF
所以 HI=IC=FI=1/2BF
所以 角CFH=90度
所以 CF垂直于BE

Answer 2

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABE和△CAD中，

   AB=CA∠BAE=∠CAE=CD     

，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，

又∵BP⊥AD，

∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，

∴BQ=2PQ．