Question

一道三角函数与数列结合的填空题

原题目
已知函数f(x)=sinX+tanX,项数为27的等差数列{An}满足An∈（-π/2，π/2），且公差d≠0，若f(A1)+f(A2)+f(A3)+....+f(A27)=0,则当k=_______时，f(Ak)=0.

有的解题过程是：
由于fx=sinx+tanx在区间（-π／2，π／2）上是奇函数又是增函数
而an为区间（-π／2，π／2）的等差数列
所以fa1+fa2+......fa27中必有

fa1=-fa27
fa2=-fa26
……
所以要使得
fa1+fa2+......fa27=0
必有fa14=0

疑问：对于解答过程“fa1=-fa27，fa2=-fa26，……”可以严格推导出来吗？虽然函数为增函数和奇函数，但并不能直接推出此步。 请问如何理解和解答

Answer 1

其实这个就是简单想像一下就知道了， 没必要这么严格的。
如果非要严格的话可以这么考虑。 如果 f(a1)+f(a27) 不是0，假设是大于0的（小于0的同样处理）。
先证明这个等价： a+b>0 <=> b>-a <=> f(a)+f(b)>f(a)+f(-a)（递增）= 0 (奇函数)
也就是说， a+b>0 等价于 f(a)+f(b) > 0

根据这个结论， 如果f(a1)+f(a27)>0 也就有 a1+a27 > 0。
因为等差数列， 所以 a1+a27 = a2+a26 = a3+a25 = ... = a14 + a14 ，它们都等于 2a1+26d， 也就是说它们都大于0. 所以f(a2)+f(a26)>0, f(a3)+f(a25)>0..... f(a14)+f(a14)>0

所以 f(a1) + f(a27) + f(a2) + f(a26) + ... + f(a13) +f(a15) > 0 , 同时根据最后一个式子有f(a14)>0， 所以f(A1)+f(A2)+f(A3)+....+f(A27)>0 , 不符合题目要求了。

Answer 2

f(x)=sinX+tanX,是个奇函数
且当An∈（-π/2，π/2）时,若x+id≠-x则f(x+nd)≠f(x) 0<i<27
f(-x)=-f(x)
f(-(x+d))=-f(x+d)
说明整个等差数列是对称的
所以fa1+fa2+......fa27中必有

fa1=-fa27
fa2=-fa26
……
所以要使得
fa1+fa2+......fa27=0
必有fa14=0
f(A14-nd)=-f(A14+nd) 0≤n<≤3

Answer 3

f(A1)+f(A2)+f(A3)+....+f(A27)=0,可知A1-A27是关于原点对称的，这是奇函数的性质。所以可以得到fa1=-fa27 O(∩_∩)O~ 还有疑问呼？