Question

数学题，怎么求当n趋向于无穷大时1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)的极限呀

需要大学的知识 我要具体过程和结果

Answer 1

解题过程如下：

令S(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)，n∈N

有S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n)

于是可构造另外一个序列：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n)，其和也为S(n)

那么S(n)=∑a(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)

n→∞时，这是一个无穷级数

设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+ …

两边对x求导得：f'(x)=1-x+x^2-x^3+ …

注意到当-1<x<1时，有f'(x)+x*f'(x)=1，所以有

f'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0

解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)

易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有

f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 2

楼主这道题出得很好！我想了一遍，深受启发。
令S(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)，n∈N
有S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n)
于是可构造另外一个序列：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n)，其和也为S(n)
那么S(n)=∑a(n)=1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)
n→∞时，这是一个无穷级数

关于此级数的和，我在参考资料中解答过，现copy如下：
设定义在(-1,1]上的函数f(x)=x-(1/2)*x^2+(1/3)*x^3-(1/4)*x^4+ …
两边对x求导得：f'(x)=1-x+x^2-x^3+ …
注意到当-1<x<1时，有f'(x)+x*f'(x)=1，所以有
f'(x)=1/(1+x),(-1<x<1)，且f(0)=0
解上述微分方程得：f(x)=ln(1+x),(-1<x<1)
易证f(1)所表示的无穷级数是收敛的，考虑到f(x)的连续性，有
f(1)=lim(x趋于1)(ln(1+x))=ln2

Answer 3

夹逼准则