Question

若（m^2x-1）/（mx+1）<0(m=/0)对一切x>=4恒成立,则实数m的取值范围？

Answer 1

设f(x)=(m^2*x-1)/(mx+1),m≠0，
则f'(x)=[m^2*(mx+1)-m(m^2*x-1)]/(mx+1)^2
=m(m+1)/(mx+1)^2,
对x>=4，f(x)<0恒成立，分3种情况：
1)m>0或m<-1时f'(x)>0,f(x)是增函数，f(4)=(4m^2-1)/(4m+1)<0,
解得m<-1或0<m<1/2;
2)-1<m<0时f'(x)<0,f(x)是减函数，f(+∞)→m<0,
∴-1<m<0;
3)m=-1时f(x)=(x-1)/(-x+1)=-1<0.
综上,m的取值范围是(-∞,0)∪(0,1/2).
本题还可以用分离常数法：f(x)=m-(m+1)/(mx+1),
而后分m>0,-1<m<0,m=-1,m<-1讨论f(x)的单调性.

Answer 2

令y1=m^2x-1
y2=mx+1
数形结合 发现m<0
联立当x=4时，y1>0
x=4时，y2<0