Question

已知y=（m²+4m-5）x²+4（1-m)x+3>0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）m²+4m-5=0时，m=1或-5，可知m=1时满足y=（m²+4m-5）x²+4（1-m)x+3>0对任意实数x恒成立
（2）m²+4m-5＞0时，m＞1或m＜-5，
且满足[4（1-m)]²-4×（m²+4m-5）×3＜0得：1＜m＜19
因此：1＜m＜19
综上：实数m的取值范围1≤m＜19

追问

看不太懂

追答

（1）m²+4m-5=0时，m=1或-5，
可知m=1时，有3>0，满足对任意实数x恒成立；
m=-5时，有24x+3>0，不满足对任意实数x恒成立；

（2）若满足y=（m²+4m-5）x²+4（1-m)x+3>0对任意实数x恒成立，
则二次项系数m²+4m-5＞0，得：m＞1或m＜-5，
且满足△=[4（1-m)]²-4×（m²+4m-5）×3＜0，得：1＜m＜19
取m＞1或m＜-5与1＜m＜19交集得：1＜m＜19
综上（1）（2）得：实数m的取值范围1≤m＜19

追问

y=（m²+4m-5）x²+4（1-m)x+3>0
是不是把（m²+4m-5）截出来再运算

追答

二次函数开口反向由二次项系数决定，当二次项系数大于0时，开口向上，和x轴无交点时y恒大于0，此时判别式小于0。

开口方向

Answer 2

（m²+4m-5）x²-4(m-1)x+3>0对于一切实数x恒成立
m=1时,原式 = 3 ＞ 0,恒成立
m=-5时,原式 = 24x+3,x＜-1/8时原式不成立
m≠-5且m≠1时,函数f(x) = (m²+4m-5)x²-4(m-1)x+3 必须开口向上,并且与x轴无交点
所以,m²+4m-5＞0,并且判别式△=[-4(m-1)]²-4*(m²+4m-5)*3 ＜0
即：(m+5)(m-1)＞0,并且4{4(m-1)²-3*(m²+4m-5)] = 4{m²-20m+19} = 4(m-1)(m-19)＜0
即：m＜-5或m＞1,并且1＜m＜19
即1＜m＜9
综上：1≤m＜19

追问

看不太懂