Question

设函数y等于fx定义在r上对任意函数m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)且当x>0,0<f(x

设函数y等于fx定义在r上对任意函数m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)且当x>0,0<f(x)<1. (1)求证f(0)=1,且当x<0时，f(x)>1. (2)求证f(x)在R上单调递增

Answer 1

（1）令m=n=0 那么有f（0）=f（0)^2
则f（0）=0或1
若f（0）=0 那么令m=0 n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0 这与条件x>0时0<f(x)<1矛盾
所以f（0）=1

令n=-m 那么有f（m+n）=f（0）=f（m）f（-m）=1
所以f（m）和f（-m）互为倒数
设m属于0到正无穷 那么f（m）就在0到1之间
所以其倒数f（-m）就在1到正无穷上 所以当x<0时，有f(x)>1

（2）设n>0 那么对于对于实数m有f(m+n)=f(m)f(n)
因为n>0 所以f(n)在0到1之间
又因为函数f(x)在R上恒大于0 所以f(m+n)<f（m） 又m+n>m
所以对于任意实数x2>x1 都有f（x1）>f（x2）
所以函数f（x）在R上单调递减

Answer 2

因为y=aX^2+c(a不等于0)表明图象关于Y轴对称，所以又内接一个过原点的正方形，只有一种可能，那正方形的对角线在Y轴上，设正方形的对角线长2K，所以抛物线过三点，（0，2K）（K，K）（-K，K）
带入解得AC=-2