Question

证明二重极限

这是我的证法， 原式的绝对值≤0.5√xy=0
我希望有人能用定义证明一下，反正我证不出
还有，我发现有很人喜欢”分” ， 财富不是问题，我全部财富给你都可以。
当然你证明出这个极限不存在也行。

Answer 1

这个直接用

来证就行了，最后的极限显然是0

刚才没看到要用定义

按定义的话只要补上对于∀ε>0,∃δ=ε/2，|x|<δ，|y|<δ，

就有|xy/（x+y）|<ε就行了

追问

嗯，你的证明方法比我那个可靠多了，怎么把δ 表示出来呢，从而说明存在δ，总使得原式的绝对值＜ε。

追答

就用δ=ε/2就行了，当|x|<δ，|y|<δ，
|xy/（x+y）|≤|x|+|y|<ε/2+ε/2=ε

追问

虽然不知道为什么你要取δ=ε/2

但是现在，ε=3 ，那么δ=1.5，不妨取x=y=根号二
那么(x,y）到原点的距离就成了4＞ε， 即你找到的这个δ是不存在的

追答

x=y=根号2，离原点的距离不是2吗？要是不放心取ε/3，ε/4也是可以的。
嗯上官兄弟说得对，确实有问题

追问

我错了.......... 那么如何把δ=ε/n 运用到证明中去从而证明出 那个绝对值要＜ε

追答

这个δ要是前面证对了才能用

刚才看了上官兄弟举的反例确实上面证明有问题，而且他举这条线算妙笔了，
沿y=-x这条直线整个函数都是没有定义的，所以极限确实应该不存在

追问

额，好像没有定义是不能说明极限不存在的吧。

追答

极限存在要沿任意曲线趋向（0，0）的极限都要存在且相等，现在在这条线上都没有定义，更不用谈所有曲线了，实际如果要从有定义的点去找条曲线来趋向（0，0）只要让这条曲线在（0，0）的切线斜率和y=-x相同就有希望了，这时不妨取y=e^(-x)-1,则在（0，0）的极限是-2

追问

这个太厉害啦，你是怎么想到的？

追答

我感觉在这条直线上没有定义而且是无界的，那给定任意一个数都有可能构造曲线来趋向他，只要让曲线在（0，0）点趋近方式和y=-x类似就行，然后就先想到这个函数，比如y=1-e^x能做到

追问

太厉害了，最后的问题，①你觉得什么是极限？②什么是微分？ 说一下看法，可选答，可不答。

追答

如果是形象的看法的话，极限就类似函数值振动的一个中心，函数值围绕这点上下摆动，微分的话就是把一点附近的值用线性函数来逼近，附近的值在这个直线的上下摆动

Answer 2

mx^2-x试试

可以试试这种推到、令y=f（x）、f在0附近二次可微、且f（0）=0、（不可微的情况、可以用可微情况逼近、）带进去算

追问

嗯，能否进一步说明一下？

追答

不对劲、我感觉楼上的证明似乎没有什么问题、但是mx^2-x算出来的似乎又不对、我再琢磨琢磨。。。

先把我的思路给你、

lim x*f/(x+f)=lim (f+xf')/(1+f')如果f'(0)≠-1那么极限就是0、
如果是-1、就继续用L‘hospital法则、=lim (2f'+xf'')/(f'') 如果f’‘≠0、那么就可以直接取极限、得到结果是-2/f‘’(0).

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楼上的证明|（x+y）^2|≥|2xy|有问题、比如、令y=-x≠0

追问

嗯，所以用y=mx²+x的特殊路径得到的极限也是0，这不能说明原极限不存在
在我发的图片的第三行我没有写那个极限等于0，实际上它就等于0

Answer 3

证明极限存在的话，那肯定不能举特例了，不过证明极限不存在的话倒是可以举个特例，轻轻松松地。

追问

那么，如何证明这个极限为0呢?

追答

不是已经有位热心网友给你证明过了吗？就是那种方法证明啊。

追问

现在发现他的证法有问题 ，即2xy≤（x+y）² 那里

追答

我不知道如果用这种方法行不，就是讨论x和y的无穷小的情况：x是y的高阶无穷小，或者y是x的高阶无穷小，或者x和y是等阶无穷小，结果得出结论是极限都为零。