Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=根号2/2，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为根号2

（1）已知直线l与椭圆交于A.B两点，且坐标原点O到直线l的距离为根号6/3，∠AOB的大小是否为定值？若是求出该定值

Answer 1

x^2/a^2+y^2/b^2=1
x=c 时 c^2/a^2+y^2/b^2=1
y^2=b^2(1-c^2/a^2)
所以根号2=2b根号(1-c^2/a^2)
2=4b^2(1-c^2/a^2) (e^2=c^2/a^2=1/2)
2=4b^2(1-1/2)
2=2b^2
b^2=1 b=1
e^2=(a^2-b^2)/a^2=1/2 得1-1/a^2=1/2 1/2=1/a^2 a^2=2 a=根号2
所以x^2/2+y^2=1
对于直线l:y=ax+b
d=根号6/3 =l-bl/根号(1+a^2)
2/3=b^2/(1+a^2) ...(1)