一道初三圆几何题
P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB（2）PA×PC=PB的平方-AB的平方...
P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB（2）PA×PC=PB的平方-AB的平方
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证明：（1）连接PB、AC
由于点A、B、C、P共圆，则由托勒密定理知：
PA•BC+AB•PC=PB•AC
又BC=AB，AC=AB•√2
所以PA+PC=(√2)PB
(2) 由于ABCD是正方形，所以对角线AC是圆的直径，即知∠APC=90°
则由勾股定理知：PA^2+PC^2=AC^2=2AB^2
又由（1）中结论知：(PA+PC)^2=2PB^2
二式相减即得：PA•PC=PB^2-AB^2
由于点A、B、C、P共圆，则由托勒密定理知：
PA•BC+AB•PC=PB•AC
又BC=AB，AC=AB•√2
所以PA+PC=(√2)PB
(2) 由于ABCD是正方形，所以对角线AC是圆的直径，即知∠APC=90°
则由勾股定理知：PA^2+PC^2=AC^2=2AB^2
又由（1）中结论知：(PA+PC)^2=2PB^2
二式相减即得：PA•PC=PB^2-AB^2
参考资料： http://baike.baidu.com/view/148250.htm?fr=ala0_1_1
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