已知a+b+c=1,a,b,c均为正数,证明:c^2/a + a^2/b + b^2/c >=1 ?
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∵a,b,c均为正数
∴a²/b>0, b²/c>0, c²/a>0
由均值不等式知
(a²/b)+b ≥ 2√[(a²/b)*b]=2a
(b²/c)+c ≥ 2√[(b²/c)*c]=2b
(c²/a)+a ≥ 2√[(c²/a)*a]=2c
以上三式相加，得
(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c) ≥ 2(a+b+c)
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ a+b+c
又a+b+c=1
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ 1
∴a²/b>0, b²/c>0, c²/a>0
由均值不等式知
(a²/b)+b ≥ 2√[(a²/b)*b]=2a
(b²/c)+c ≥ 2√[(b²/c)*c]=2b
(c²/a)+a ≥ 2√[(c²/a)*a]=2c
以上三式相加，得
(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c) ≥ 2(a+b+c)
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ a+b+c
又a+b+c=1
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ 1
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使用柯西不等式的一般式，解答如下
c^2/a + a^2/b + b^2/c =（a+b+c）*（c^2/a + a^2/b + b^2/c ）>=（c+a+b）^2
=1
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