Question

已知函数f(x)=x^2+a\x(x≠0)，若f(1)=2,判断f（x）在（2，正无穷）上的单调性

试判断f(x)在[2,+∞）上的单调性

Answer 1

f(x)=x^2+a/x(x≠0)，
若f(1)=2,则1+a=2,a=1
f(x)=x^2+1/x
f'(x)=2x-1/x^2=(2x^3-1)/x^2
∵x≥2
∴x^3≥8,2x^3-1≥15>0
∴f'(x)>0
∴f(x)是[2,+∞)上的增函数

追问

f'(x)=2x-1/x^2=(2x^3-1)/x^2 这一步怎么得到的？

追答

求导：

追问

怎么求导

追答

(x2)'=2x , (1/x)'=-1/x^2
若还没学导数，用定义证明

任取2≤m0
mn(m+n)-1>0
∴(n-m)[mn(m+n)-1]/(mn)>0
即f(n)>f(m)
∴f(x)是[2,+∞)上的增函数

Answer 2

答：
f(x)=(x^2+a)/x=x+a/x
f(1)=2，f(1)=1+a=2
解得：a=1
所以：f(x)=x+1/x

设a>b>=2，ab>4，0<1/ab<1/4
a-b>0，1-1/(ab)>0
f(a)-f(b)
=(a+1/a)-(b+1/b)
=a-b+(b-a)/(ab)
=(a-b)[1-1/ab)]
>0
f(a)>f(b)
所以：
f(x)=x+1/x在[2,+∞）上是单调递增函数