Question

已知函数f(x)=4x+a/x(a>0,a∈R)判断并证明f(x)在(0,√a/2)上的单调性

讨论函数g(x)=4x+a/x-1(a>0)在（0，+∞）上的零点个数

Answer 1

f(x)=4x+a/x(a>0,a∈R)
取导f‘(x)=4-a/x^2,
当x∈(0,√a/2), x^2∈(0,a/4)
所以f‘(x)=4-a/x^2<0
故f(x)在(0,√a/2)上单减

零点个数即4x+a/x-1=0的解的个数
4x^2-x+a=0
根据根的判别式：当a∈(0,1/16),有2个零点
当a=1/16,有1个零点
当a>1/16,没有零点

Answer 2

1,设0<x1<x2<√a/2，a/(x1x2)>4。
f(x1)-f(x2)=4(x1-x2)-a(x1-x2)/(x1x2)=(x1-x2)[4-a/(x1x2)]>0
所以，f(x)在区间(0,√a/2)单调递减。
2,由(1)，g(x)在区间(0,√a/2)单调递减。
设√a/2<x1<x2，则a/(x1x2)>4。
g(x1)-g(x2)=4(x1-x2)-a(x1-x2)/(x1x2)=(x1-x2)[4-a/(x1x2)]<0
所以，g(x)在区间(√a/2，+无穷)单调递增。