Question

已知关于x的不等式ax-5/x^2-a<0的解集为M,若3在M内且5不在M内，求a范围

大多数人的答案：∵3∈M 将x=3代入，不等式成立∴(3a-5)/(9-a)<0 3(a-5/3)/(a-9)>0 ==>a<5/3或a>9 ①∵5不属于M将x=5代入，不等式不成立∴（5a-5)/(25-a)≥0或a-25=0∴(a-1)/(a-25)≤0或a-25=0 ==> 1≤a≤25 ②∴①②取交集得数a的取值范围 1≤a<5/3或9<a≤25

我的质疑是：a的取值范围 1≤a<5/3或9<a≤25中的后面那个9<a≤25中≤25的=能不能取到？？？为什么？？？？

Answer 1

我给两个解释。

第一，标答中将x=5代入，得到两个可能情形：（5a-5)/(25-a)≥0或a-25=0

这是很严谨的，因为“不等式不成立”涵盖了 “反向的不等式成立” 或者 “不等式没意义”两种情况。在后一种情况， a-25=0. 因此 a = 25 是可以去到的。

第二种解释： 直接看看a=25的情况。得到

(25x-5)/(x^2-25) <0

我们来看这个不等式的解集。

(25x-5)/(x^2-25) <0

等价于：
(5x-1)/(x^2-25) <0

等价于：
(5x-1)(x^2-25) <0

等价于：
(x+5)(x-1/5)(x-5) <0

解得：

x<-5 或者 1/5<x<5.

因此解集M包含3，但不包含5，满足题意。

Answer 2

我还没学呢