Question

已知圆Cx²+y²-4x+3=0求3x+4y的最小值；y/x的取值范围

已知圆Cx²+y²-4x+3=0求3x+4y的最小值；y/x的取值范围

Answer 1

答：
圆x²+y²-4x+3=0
(x-2)²+y²=1
圆心（2,0），半径R=1
设k=3x+4y，即3x+4y-k=0直线
圆心到直线的距离d<=R：
d=|6+0-k|/√(3²+4²)<=1
|k-6|<=5
-5<=k-6<=5
解得：1<=k<=11
所以：3x+4y的最小值为1

y/x=m，y=mx代入圆方程：
x²+m²x²-4x+3=0
(m²+1)x²-4x+3=0
方程恒有解，判别式=(-4)²-4(m²+1)*3>=0
所以：m²+1<=4/3
所以：m²<=1/3
解得：-√3/3<=m<=√3/3
所以：y/x的取值范围为[-√3/3，√3/3]

Answer 2

配方：(x-2)²+y²=1
参数法，记x=2+cost, y=sint
则3x+4y=6+3cost+4sint=6+5sin(t+u), 这里u=arctan(3/4)
因此3x+4y的最小值为6-5=1

记z=y/x=sint/(2+cost)
则zcost+2z=sint
sint-zcost=2z
√(1+z²)sin(t-v)=2z, 这里v=arcsin(z)
sin(t-v)=2z/√(1+z²)
所以有|2z/√(1+z²)|<=1
得：z²<=1/3
|z|<=1/√3
即y/x的取值范围是：[-1/√3,1/√3]