Question

定积分(0到根号下2π)sinx^2dx,平方是x的

详细过程，谢谢！
大于0
小于0
等于0
不能确定

Answer 1

定积分(0到根号下2π)sinx^2dx

> 定积分(根号下π/6到根号下π/2)sinx^2dx

> 定积分(根号下π/6到根号下π/2)sin(π/6)dx

> 0

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

Answer 2

做变量代换 t=x^2 dt=2xdx=2√tdx
定积分(0到根号下2π)sinx^2dx
=定积分(0到2π) （sint）/(2√t) dt
=定积分(0到π) （sint）/(2√t) dt+定积分(π到2π) （sint）/(2√t) dt
=定积分(0到π) （sint）/(2√t) dt+定积分(0到π) （sin(u+π）/(2√(u+π)) du
= 定积分(0到π) （sint）/(2√t) dt-定积分(0到π) （sin(t+π）/(2√(t+π)) dt
= 定积分(0到π) （sint）[1/(2√t)-1/(2√(t+π))] dt
注意t属于(0到π)时 sint>0 1/(2√t)-1/(2√(t+π))>0
所以原积分大于0

追问

那个 u+π到t+π前面怎么突然变成负号了

追答

打错了，应该是sin（t+π）=-sint
=定积分(0到π) （sint）/(2√t) dt+定积分(0到π) （sin(u+π）/(2√(u+π)) du

= 定积分(0到π) （sint）/(2√t) dt-定积分(0到π) （sint/(2√(t+π)) dt