Question

线性代数 矩阵证明题

已知A为正交阵，且|A|=-1,证明-1是A的一个特征值。（过程，快点啊！）

Answer 1

这题的关键是证明：|A+E|=0

证明：
因为A是正交阵，所以AA'=E
所以
|A'||A+E|=|E+A'|
又|A'|=|A|=-1
所以|A+E|=-|E+A'|
又 |A+E|=|(A+E)'|=|E+A'|
所以|A+E|=0
故
-1是A的一个特征值

Answer 2

-1是A的一个特征值等价于说|E+A|=0。
由于A为正交阵，所以E=AA'，其中A'为A的转置。
所以E+A=AA'+A=A(A'+E)=A(A+E)'。
所以|E+A|=|A||(A+E)'|=-|A+E|=|E+A|。
移项合并得2|E+A|=0，所以|E+A|=0。

Answer 3

即证明|E+A|=0，利用|E+A|=|A*AT+A|=-|AT+E|=-|A+E|，从而得证。其中AT为A的转置。