Question

问一道几何数学题，拜托高手解答。

在等边三角形ABC中，有任意一点P，到A、B、C的距离分别是3、4、5，请问角APB是多少度？

Answer 1

答案是:角APB＝150度

解:设角PAB=Q,等边三角形边长为a
PA=3,PB=4,PC=5
根据题意,由余弦定理得:
cosQ=(AP^2+AB^2-PB^2)/2*AP*AB=(9+a^2-16)/6a=(a^2-7)/6a(1式)
角CAP=60-角PAB=60-Q
cos(60-Q)=(AP^2+AC^2-CP^2)/2*CA*AP=(9+a^2-25)/6a=(a^2-16)/6a(2式)
而
cos(60-Q)=cos60cosQ-sin60sinQ=cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a (3式)
将(1式)代入(3式)得:
cosQ/2-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
1/2*(a^2-7)/6a-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a
-根号3*sinQ/2=(a^2-16)/6a -1/2*(a^2-7)/6a (等式两边同时乘以2)得:
-根号3*sinQ=2*(a^2-16)/6a-(a^2-7)/6a
-根号3*sinQ=(2a^2-32-a^2+7)/6a
-根号3*sinQ=(a^2-25)/6a
根号3*sinQ=(25-a^2)/6a
sinQ=(25-a^2)/6a根号3
而(sinQ)^2+(cosQ)^2=1
所以:
[(25-a^2)/6a根号3]^2+[(a^2-7)/6a]^2=1
(25-a^2)^2/108a^2 +(a^2-7)^2/36a^2=1
令a^2=t
(25-t)^2/108t +(t-7)^2/36t=1
(625-50t+t^2)/108t +(t^2-14t+49)/36t-1=0
(625-50t+t^2)/108t+(3t^2-42t+147)/108t -108t/108t=0
(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)/108t=0
t不等于0
所以(625-50t+t^2+3t^2-42t+147-108t)=0
4t^2-200t+772=0
t^2-50t+193=0
根据求根公式得
t1=25+12根号3
t2=25-12根号3
由（1式）得
a>0
cosQ＞0即：
(a^2-7)/6a＞0
a^2>7
t2=25-12根号3＜7（不合题意，舍去）
所以t=25+12根号3
即a^2=25+12根号3
又cos角APB=(AP^2+BP^2-AB^2)/2*AP*BP=(9+16-a^2)/24=(25-a^2)/24
将a^2=25+12根号3代入上式得：
cos角APB＝(25-a^2)/24＝（25-25-12根号3)/24=-根号3/2
即：角APB＝150度