Question

高手帮忙解个多元函数微分学的题

x^2 + y^2+z^2=4*z,求z对x的偏导数，z对y的偏导数？高手帮忙！

Answer 1

两种方法：
1.直接利用微分法：
对等号左侧取微分：
d(x^+y^+z^)=d(x^)+d(y^)+d(z^)=2x*dx+2y*dy+2z*dz ①
等号右侧也取微分：
d(4z)=4*dz ②
两式联立，得：
2xdx+2ydy+2zdz=4dz
<=>dz=[x/(2-z)]*dx + [y/(2-z)]*dy
由偏导公式：z=z(x,y)，则dz=(эz/эx)*dx + (эz/эy)*dy
可得到：
эz/эx=x/(2-z),эz/эy=y/(2-z)
（z我就不用原式代换了）

2.分别求x，y的偏导：
x^+y^+z^=4z
同时对等式两侧取x的偏导，则y则是当做常数处理：
э(x^+y^+z^)/эx=э(4z)/эx
<=>э(x^)/эx + э(y^)/эx + э(z^)/эx = 4*(эz/эx)
<=>2x + 0 + [э(z^)/эz] *(эz/эx) =4*(эz/эx)
<=>2x + 2z*(эz/эx)=4*(эz/эx)
<=>эz/эx=x/(2-z)

同理，采取相同方法对等式两侧取y的偏导，最后可得出：
эz/эy=y/(2-z) （过程完全一样，只是把x换成y，我就不再写了！）