设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数都有f(f(x)-e的x方)=e+1(e为自然对数的底数),则f(ln2)=
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任意k∈R,存在m(k) f(k)-e^k=m(k)
假设m(k)不是关于k的常函数,则存在k1≠k2使得m(k1)≠m(k2)
然而f(m(k1))=e+1 f(m(k2))=e+1 矛盾
这说明m(k)是关于k的常函数
从而f(k)-e^k=m 即f(k)=e^k+m
故f(m)=e+1=e^m+m
即关于常数m的方程e^m+m=e+1
由于函数e^x+x为增函数,故上述方程最多只有一个解
易知m=1是一个解。可见方程只有这一个解。
从而f(x)=e^x+1
f(ln2)=3
假设m(k)不是关于k的常函数,则存在k1≠k2使得m(k1)≠m(k2)
然而f(m(k1))=e+1 f(m(k2))=e+1 矛盾
这说明m(k)是关于k的常函数
从而f(k)-e^k=m 即f(k)=e^k+m
故f(m)=e+1=e^m+m
即关于常数m的方程e^m+m=e+1
由于函数e^x+x为增函数,故上述方程最多只有一个解
易知m=1是一个解。可见方程只有这一个解。
从而f(x)=e^x+1
f(ln2)=3
追问
请问,用上已知条件中的“函数f(x)为单调递增函数”了么?
追答
用到了啊
在“然而f(m(k1))=e+1 f(m(k2))=e+1 矛盾”这句话里,如果没有单调递增这个条件,这里将无法得出矛盾。因为k1和k2的存在使得m(k1)≠m(k2);但m(k1)和m(k2)只是两个数,正因为单调递增才很方便地得出f(m(k1))≠f(m(k2)).
换句话说,如果没有单调性作保证,不能证明这个命题:
若m(k)=f(k)-e^k不是关于k的常函数,则存在k1和k2使得既有m(k1)≠m(k2),又有f(m(k1))≠f(m(k2)).
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