Question

二重积分计算题 非求解，只想问几何上的解释

从xoy面上的圆周x^2+y^2=ax围成的闭区域为底,以曲面z=x^2+y^2为顶的曲顶柱体体积

这个问题我能做出正确答案来，我想问，
1 底面是一个圆心不在原点的圆，但是曲面就是说这个顶却是一个投影的话为圆心在圆点的圆，没有对正怎么计算体积？
2 用极坐标计算几何体积的时候，是不是相当于先求一个面，然后用这个面扫过一个区域然后得到体积？？？

请您认真回答，谢谢

Answer 1

1、不存在对正不对正的问题，如上图，二重积分定义的就是V的体积，

显然不同的积分区域对应的顶面也在变化。

2、

2、用极坐标和直角坐标计算二重积分的本质不同在于对积分区域的

划分方式不同。

(1)如上图直角坐标系对积分区域进行的是平行矩形网格划分。

    因此每个微型柱体的体积dv＝f(x,y)ds＝f(x,y)dxdy

    有： V＝∫∫ f(x,y)dxdy

(2)而极坐标系对积分区域进行的是同心圆+半径方式的划分，每个

    微面积ds其实并不相同，由于微扇形的面积为(r^2/2 * dθ), 对r求微分

    得到 ds＝r dr dθ。

    因此每个微型柱体的体积dv＝f(x,y)ds＝f(x,y) r dr dθ

    根据坐标变换公式: x=rcosθ，y＝rsinθ

    有：dv＝f(x,y)ds＝f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ

    有： V＝∫∫ f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ

    这就是两个坐标变换公式的由来，因此本质上仍然是一致的。

最后再说积分顺序的问题，就是你理解的先求一个面，

再用这个面扫过整个区域，可以这么理解。

但从积分原理应该这么理解：

要求一个几何体的体积，可以按某种方式将这个几何体的切成N个薄片，

N个薄片的面积加起来再乘以薄片厚度就是体积。积分顺序代表切的方向，

直角坐标和极坐标代表切的方式。