如图，在等腰直角三角形ABC中，角ABC=90度，AB=BC=4,
1）证明：∵ ∠ABC=90度，AB=BC，
∴ ∠A=∠C=45度，
∵ ∠1+ ∠EPF+ ∠2=180度， ∠EPF=45度，
∴∠1+∠2=135度，
∵∠3+∠C+∠2=180度，∠C=45度，
∴∠3+∠2=135度，
∴ ∠1=∠3。
即：∠APE=∠CFP。
2）解：①∵在△ABC中，∠ABC=90度，AB=BC=4，
∴由勾股定理可得：
AC^2=AB^2+BC^2=32
AC=4根号2，
∵ P是AC中点，
∴ PA=PC=2根号2，
∵∠APE=∠CFP，∠A=∠C，
∴△APE∽△CFP，
∴ CF/PA=PC/AE，
CFxAE=PAxPC=8，
∴AE=8/x，
∵S2=S△CPF
=(1/2)CP*CF*sinC
=(1/2)*(2根号2)x*[(根号2)/2]
=x，
S△APE的面积=(1/2)*AP*AE*sinA
=(1/2)*(2根号2)*(8/x)*[(根号2)/2]
=8/x，
S△ABC的面积=(1/2)*AB*BC
=8，
∴ S1=S△ABC-S△CPF-S△APE
=8-x-8/x，
∵y=S1/S2,
∴ y=(8-x-8/x)/x
即： y=(8x-x^2-8)/x^2.
所以 角A=角C=45度，
因为 角1+角EPF+角2=180度，角EPF=45度，
所以 角1+角2=135度，
因为 角3+角C+角2=180度，角C=45度，
所以 角3+角2=135度，
所以 角1=角3。
即： 角APE=角CFP。
（2）解：1）因为 在三角形ABC中， 角ABC=90度，AB=BC=4，
所以 由勾股定理可得：AC^2=AB^2+BC^2=32，
AC=4根号2，
因为 P是AC中点，
所以 PA=PC=2根号2，
因为 角APE=角CFP，角A=角C，
所以 三角形APE相似于三角形CFP，
所以 CF/PA=PC/AE，
CFxAE=PAxPC=8，
因为 CF=x，
所以 AE=8/x，
因为 S2=三角形CPF的面积
=(1/2)CP*CF*sinC
=(1/2)*(2根号2)x*[(根号2)/2]
=x，
三角形APE的面积=(1/2)*AP*AE*sinA
=(1/2)*(2根号2)*(8/x)*[(根号2)/2]
=8/x，
三角形ABC的面积=(1/2)*AB*BC
=8，
所以 S1=三角形ABC面积-三角形CPF面积-三角形APE面积
=8-x-8/x，
因为 y=S1/S2,
所以 y=(8-x-8/x)/x
即： y=(8x-x^2-8)/x^2.
