Question

初三数学奥数题

已知BD、CE是三角形ABC的角平分线，F为DE的中点，点F到AC、AB、BC的距离分别为=a，FH=b，FM=c，若c2-c-2ab+1/2m2-2m+5/2=0。（1） 求a，b，c，m的值（2） 求证：DG=(BC-CD)/4

辅助线已做出

Answer 1

考点：三角形中位线定理；一元二次方程的应用．

专题：几何综合题．

分析：（1）过点E作EQ⊥AC于Q，EN⊥BC于N，过点D作DK⊥BC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EQ=EN，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EQ=2FG=2a，同理可得DK=2FH=2b，再根据垂直于同一直线的两直线平行可得EN∥FM∥DK，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半可得EN+DK=2FM，从而求出2a+2b=2c，然后把c换成a、b并配方整理，再根据非负数的性质列式求出a、b、m，再求出c即可；
（2）根据a、b的值可得EN=DK，求出DE∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠EDB，再根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，从而得到∠EBD=∠EDB，根据等角对等边可得BE=DE，然后利用“HL”证明△EDQ和△EBN全等，同理可得△EDQ和△DCK全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=DQ=CK，再求出BC-CD=4DG，然后整理即可得证．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，求出a+b=c，然后利用配方法和非负数的性质列式求出a、b、m的值是解题的关键．

Answer 2

已经装水的部分刚好也构成一个圆锥形
它的底面半径是原圆锥底面半径的1/2------>>>
它的底面积是原圆锥底面积的1/4
它的高是原圆锥高的1/2
所以它的体积是原容器体积的1/8
那么还能装的水的体积=（7/8）*3/（1/8）=21升

Answer 3

1.x=3
2.整理代数式2a^5-5a^4+2a^3-8a^2+3a=2a^3(a^2-3a+1)+a^2(a^2-3a+1)+3a(a^2-3a+1)
由前面知道a^2-3a+1=0所以等于0

Answer 4

证明:⑴
作高AH
由AD平分∠BAC=由DP⊥AB,DQ⊥AC,AP=AQ
DP=DQ
则由BDP∽BAH
BD/BA=BP/BH=DP/AH
由CDQ∽CAH
CD/CA=CQ/CH=DQ/AH=DP/AH
BP/BH=CQ/CH
故BP/PA*AQ/QC*CH/HB=BP/BH*CH/QC=1
根据塞瓦定理逆定理,AH,BQ,CP交于一点,故AH过CP,BQ的交点K,
∴
AK与AH重合,即AK⊥BC.
这个题用了塞瓦定理逆定理