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计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz Ω是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域

计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz Ω是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域
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Answer 1

x=rcosθ，y=rsinθ

原积分=∫∫∫r^2 rdrdθdz

=∫(0->2π)dθ  ∫(0->2) r^3dr  ∫(r^2->4)dz

=32π/3

扩展资料

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

直接上柱面极坐标
x=rcosθ，y=rsinθ
原积分=∫∫∫r^2 rdrdθdz
=∫(0->2π)dθ ∫(0->2) r^3dr ∫(r^2->4)dz
=32π/3