Question

在平面直角坐标系中边长为2的正方形

在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．[1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中，△MNO边上的高为定值；
（4）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论以第三问为主

Answer 1

解：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45度．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 1/2π ．
（2）∵MN‖AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
∴△OAM ≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5度．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．
（3）证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，
∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

追问

（3）试证明在旋转过程中，△MNO边上的高为定值；怎么证