Question

高一数学题，已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若a>b>c且f(1)=0,

（1）证明函数f(x)的一个零点小于-（1/2） （2）若f（m）=-a，是判断f（m+3)的符号，并证明你的结论 实在想不出了~~~

Answer 1

(1) f(1)=a+b+c=0 因为a>b>c，所以3a>a+b+c=0>3c 所以a>0, c<0 a+2b=a+b+b>a+b+c=0 (1) 所以a>-2b, 两边同时除以4a得(a>0,所以不等号不变向） 1/4>-b/(2a) 而-b/(2a)为函数f(x)的对称轴，设 x0=-b/(2a) 由f(1)=0知f(x)的一个零点为x1=1, 另一个零点应满足 x1+x2=2x0 所以x2=2x0-x1=2x0-1 < 2*1/4-1=-1/2 (2) 由（1）式得 a+2b>0, b>-a/2 f(m)=am2;+bm+c=-a am2;+bm+a+c=0 m={-b±√[b2;-4a(a+c)]}/2a, 代入 a+c=-b得 m={-b±√[b2;+4ab]}/2a ={-b±√[(b+2a)2;-4a2;]}/2a >={-b-√[(b+2a)2;-4a2;]}/2a 因为-a/2<b<a, 所以3/2a<b+2a<3a, (b+2a)2;<9a2; 所以m>(-b-√5*a)/2a (2) f(m+3)=a(m+3)2;+b(m+3)+c =a(m2;+6m+9)+bm+c + 3b =am2;+bm+c +6am+9a+3b = f(m)+6am+9a+3b =-a+6am+9a+3b =6am+8a+3b 由(2)式得 f(m+3)=6am+8a+3b>6a*(-b-√5*a)/2a+8a+3b=(8-3√5)a>0