Question

一道高中数学压轴题，做着有点乱求拯救！

能给出详细过程吗？最好是Math Type或者手写体，万分感谢！！！！

Answer 1

(2)解析：令m=1，f’(x)=(x-1)/x^2，x∈[1,+∞)时，f’(x)=(x-1)/x^2>=0，
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，
设1<b<a
∴a^ab^b4^a＞1，(a+b)^(a+b)＞1，
要比较f(a^ab^a4^a)与f[(a+b)^(a+b)]的大小，
只需比较a^ab^b4^a与(a+b)^(a+b)的大小．
分别取对数作差：
log2(a^ab^b4^a)−log2[(a+b)^(a+b)]
=alog2a+blog2b+2a-(a+b)log2(a+b)
=alog2a+2a-alog2(a+b)-blog2(a+b)+blog2b，
设g(x)=xlog2x+2x-xlog2(x+b)+blog2b，x∈(b,+∞)，
g’(x)＝log2x+log2e+2−log2(x+b)−xlog2e/(x+b) -b log2e /(x+b)
=log2x+2-log2(x+b)
=log2[4x/(x+b)]．
∵x＞b，
∴g′(x)＞0，g(x)在(b,+∞)单调递增．
∵a＞b，∴g(a)＞g(b)，
即：alog2a+2a-alog2(a+b)-blog2(a+b)+blog2b＞0，
∴log2(a^ab^b4^a)＞log2[(a+b)^(a+b)]，
∴f(a^ab^b4^a)＞f[(a+b)^(a+b)]；

(3)解析：令m=1，f’(x)=(x-1)/x^2，
设{an}为正项数列，且n≥2时[f′(an)•f′(a(n-1))+[an+a(n-1)-1]/(an^2a(n-1)^2)]an^2=q，
∴an/a(n-1)=q(n≥2)，
∴{an}是首项为a1，公比为q的等比数列（q>0）
设Sn为数列{an}的前n项和
∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，S(n+1)=a1(1-q^(n+1))/(1-q)，
∴S(n+1)/Sn=(1-q^(n+1))/(1-q^n)．
∵bn=∑(i=1,n)[(S(i+1))/Si]=(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)，q≥2014，
构造数列{(S(n+1))/Sn }，其前n项和为bn
即bn=(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)，q≥2014，
∵bn≥2015n恒成立，
即：(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)≥2015n恒成立，
令g(x)=(1-a^(x+1))/(1-a^x)(a>0)
g’(x)=(-a^(x+1)lna)(1-a^x)-(1-a^(x+1))(-a^xlna)/(1-a^x)^2
=-a^xlna(a-1)/(1-a^x)^2<0
∴当q≥2014时，数列{(1-q^(n+1)/(1-q^n)}为单调递减数列，
且当n趋向无穷时，(1-q^(n+1)/(1-q^n)的极限为q，
∵当q≥2015时，数列{(1-q^(n+1)/(1-q^n)}中的每一项都大于2015，
∴(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)≥2015n恒成立，
当q∈[2014,2015)时，由 数列{(1-q^(n+1)/(1-q^n)}为单调递减数列，
且当n趋向无穷时，(1-q^(n+1)/(1-q^n)的极限为q＜2015，
说明数列{(1-q^(n+1)/(1-q^n)}在有限项后必定小于2015，
设(1-q^(n+1)/(1-q^r)=2015+M，(r＝1,2,3,…,n)，
且数列{Mn}也为单调递减数列，M1≥0，
根据以上分析：数列{(1-q^(n+1)/(1-q^n) }中必有一项，
(设为第k项)(1-q^(k+1)/(1-q^k=2015+Mk，(其中Mk≥0，且M(k+1)＜0)，
∵{Mn}为单调递减数列，
∴(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)
=2015n+M1+M2+…+Mk+M(k+1)+…+Mn
≤2015n+kM1+M(k+1)+…+Mn
≤2015n+kM1+(n-k)M(k+1)，
当当n趋向无穷时时，kM1+(n-k)M(k+1)＜0，
∴(1-q^2)/(1-q)+(1-q^3)/(1-q^2)+…+(1-q^(n+1)/(1-q^n)＜2015n，
∴q∈[2014,2015)时，不满足条件．
综上所得：qmin=2015．