Question

如图,已知等边三角形ABC的周长为a,P为其内任一点,PD垂直于AB于D，PE垂直于BC于E，PF垂直于AC于F。 求证

如图,已知等边三角形ABC的周长为a,P为其内任一点,PD垂直于AB于D，PE垂直于BC于E，PF垂直于AC于F。
求证：1 PD+PE+PF为定值。
2 AD+BE+CF为定值。

谢谢！

Answer 1

（1）这个问题可以用三角形的高巧妙处理
大三角形的面积可以看做三个小三角形面积的和
而三个小三角形的面积的底是固定的
所以每个三角形的高的和也要是定值才能满足大三角形的面积是固定的

（2）
证明：连接PA、PB、PC，在Rt△PBE和Rt△PEC中，PB2=PE2+BE2，PC2=PE2+CE2，∴PB2-PC2=BE2-CE2
同理可证：PC2-PA2=CF2-AF2，PA2-PB2=AD2-BD2．
将上述三式相加得：BE2-CE2+CF2-AF2+AD2-BD2=0，即：（BE+CE）（BE-CE）+（CF+AF）（CF-AF）+（AD+BD）（AD-BD）=0
∵△ABC是等边三角形，设边长为a．
∴BE+CE=CF+AF=AD+BD=a；
∴a（BE-CE）+a（CF-AF）+a（AD-BD）=0；
∴BE-CE+CF-AF+AD-BD=0；
∴BE+CF+AD=EC+AF+BD．

又因为BE+CF+AD+EC+AF+BD是定值
所以BE+CF+AD是定值

望采纳 打字很累的= =╮(╯▽╰)╭

祝你学习进步呐