根据数列极限的ε—N定义证明：
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证明：任取ε>0
由|√(n²+4)/n-1|=[√(n²+4)-n]/n=4/[n(√(n²+4)+n]<4/[n√(n²+4)+n²]<4/n²<ε（这里用了放缩法）
解得n>2/√ε
取N=[2/√ε]+1，则当n>N时，恒有|√(n²+4)/n-1|<ε
由极限定义得lim(n→∞)√(n²+4)/n=1
由|√(n²+4)/n-1|=[√(n²+4)-n]/n=4/[n(√(n²+4)+n]<4/[n√(n²+4)+n²]<4/n²<ε（这里用了放缩法）
解得n>2/√ε
取N=[2/√ε]+1，则当n>N时，恒有|√(n²+4)/n-1|<ε
由极限定义得lim(n→∞)√(n²+4)/n=1
追问
4/[n(√(n²+4)+n]吧
追答
因为[n(√(n²+4)+n]=[n√(n²+4)+n²] >n² (又因为n√(n²+4)>0）
所以4/[n(√(n²+4)+n]<4/n²
你水平也太那个了吗!
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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|√(n^2+4)/n - 1| ( consider n^2 +4 < (n+2)^2 )
<|(n+2)/n - 1|
=2/n <ε
n > 2/ε
ie
∀ε >0, ∃N =[2/ε]+1, st
|√(n^2+4)/n - 1|<ε, ∀n>N
=> lim(n->∞) √(n^2+4)/n = 1
<|(n+2)/n - 1|
=2/n <ε
n > 2/ε
ie
∀ε >0, ∃N =[2/ε]+1, st
|√(n^2+4)/n - 1|<ε, ∀n>N
=> lim(n->∞) √(n^2+4)/n = 1
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