如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1-EBFD1的体积
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1-EBFD1的体积．...
如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1-EBFD1的体积．
展开
1个回答
展开全部
解：法一：∵EB=BF=FD1=D1E=a2+(
|
| ||
| 2 |
∴四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形．（2分）
连接A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1-EBFD1的底面，
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1-EBFD1的高（4分）
设G、H分别是A1C1、EF的中点，连接D1G、GH，则FH⊥HG，FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD1，
又，四棱锥A1-EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，
有A1-EBFD1的底面⊥平面HGD1．作GK⊥HD1于K，
根据两平面垂直的性质定理，有GK垂直于A1-EBFD1的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1，∴∠HGD1=90°．
在Rt△HGD1内，GD1=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| BD1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
