Question

如图①，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦BD于点E，连BC．（1）求证：∠ABC=∠EBC；

如图①，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C点的切线CE垂直于弦BD于点E，连BC．（1）求证：∠ABC=∠EBC；（2）如图②，延长DO交AC于点P，若APCP=65，求sin∠A的值．

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵CE是圆的切线，
∴CE⊥OC，
∴∠ECB+∠裤差仿OCB=90°，
∵CE垂直于弦BD于点E，
∴∠ECB+∠CBE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ABC=∠EBC；
（2）延长DP交圆于H，设AP=6k，则CP=5k，圆的半径为庆搜r，OP=x
∵AP?CP=PD?PH，
∴5k?6k=（x+r）（r-x），
∴r²-x²=30k²，
∴胡纤OP²=r²-30k²，
∵sin∠A=

BC

AB

=

5

5

．