Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E、设点P运动时间为t秒（0＜t＜10），△PAD和△PBE的面积分别为S1，S2，（1）当t=1时，求PDBC的值；（2）在点P移动的过程中，是否存在t值，使得3S1+S2=24？若存在，求出这个t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）动点P以每秒1个单位长度的速度从点A开始，沿AB边向点B移动，
当t=1时，AP=1，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠A+∠APD=90°
∴∠A=∠BPE，∠APD=∠B
∴△APD∽△PBE
∴

PD

BC

=

AP

AB

=

1

10

故当t=1时，

PD

BC

=

1

10

；

（2）假设存在t值，使得3S₁+S₂=24，则：
AP=t，PB=10-t，
由题意得，sin∠A=cos∠B=

4

5

，cos∠A=sin∠B=

3

5

，
∴

PD

PA

=

PE

PB

=

4

5

，

AD

PA

=

BE

PB

=

3

5

∴PD=

4

5

t，PE=

4

5

（10-t），AD=

3

5

t，BE=

3

5

（10-t）
∵S₁=

1

2

×PD×AD=

6

25

t²，S₂=

1

2

×PE×BE=

6

25

（10-t）²
∴3×

6

25

t²+

6

25

（10-t）²=24
解得t=5s
∴存在t=5秒，使得3S₁+S₂=24．