Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为f1.f2.离心率为√3/2，

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为f1.f2.离心率为√3/2，椭圆C与y轴交于点M，△MF1F2的面积为√3
求椭圆c的方程
设AB是椭圆c的左右顶点，P.Q是椭圆上两点，且满足kap=2kqb.求证直线pq过定点

Answer 1

解：(1)依题意，得
e = c/a =√3/2。MF1F2的面积 = (1/2)b(2c) = bc = √3 。同时有 a² = b² + c² 。
以上三者联立，可解得：a = 2，b = 1。所以，椭圆C的方程为：
x²/4 + y² = 1 。
(2) 设点P关于原点O的对称点是点R，并连接OP和OR(图略)，则 |OP| = |OR| 。
同时，根据椭圆C关于原点的对称性可知，点R必在椭圆C上，可得 |AP|=|BR| 。
所以△AOP ≌ △BOR 。即得 ∠OAP = ∠OBR 。所以PA∥RB 。
而由已知条件 kap = 2kqb ，可得 PA∥QB 。
则根据“在平面内，过已知直线外的一个点,可以作而且只能作一条直线与已知直线相平行。”--(平行公理)可知，直线QB和RB重合，即点R和点Q重合。也就是说，点P和点Q关于原点O对称。故而直线PQ过原点O(0，0) 。