Question

设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在

设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0 ， 32]，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围．

Answer 1

函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k₁=（ax₀+a-1）e^x₀，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k₂=（x₀-2）e^-x₀，
由题设有k₁?k₂=-1从而有（ax₀+a-1）e^x₀?（x₀-2）e^-x₀=-1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，

3

2

]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0?3

x 2 0 ? x   0 ?2

，
又a′=

?(x0?1)(x0?5)

( x 2 0 ?x0?2)2

，令导数大于0得1＜x₀＜5，
故a=

x0?3

x 2 0 ? x   0 ?2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为

0?3

02?0?2

=

3

2

；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤

3

2

故实数a的取值范围为：1≤a≤

3

2

．