Question

设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在

设曲线y=（ax-1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1-x）e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k1＝(ax0+a?1)ex0，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k2＝(x0?2)e?x0，
由题设有k₁?k₂=-1从而有(ax0+a?1)ex0?(x0?2)e?x0＝?1
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x0∈[0，

3

2

]得到x₀²-x₀-2≠0，所以a＝

x0?3

x 2 0 ?x0?2

，
又a′=

?(x0?1)(x0?5)

(x02?x0?2)2

，另导数大于0得1＜x₀＜5，
故

x0?3

x 2 0 ?x0?2

在（0，1）是减函数，在（1，

3

2

）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为

0?3

02?0?2

=

3

2

；
x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤

3

2

故答案为：1≤a≤

3

2