Question

如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（

如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于π3π3．

Answer 1

设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y＝kx?1 x2＝2py

，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，kBP＝

y1?1

x1

，kBQ＝

y2?1

x2

，
k_BP+k_BQ=

kx1?2

x1

+

kx2?2

x2

=

2kx1x2?2(x1+x2)

x1x2

=

2k?2p?2?2pk

2p

=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP?k_BQ=-3②，
联立①②解得k_BP=

3

，kBQ＝?

3

，
所以∠BNM=

π

3

，∠BMN=

π

3

，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=

π

3

．
故答案为：

π

3

．