Question

求定积分∫dx/x^2*√(1+x^2)

上下限分别是√3和1，要详细点的过程，谢谢！

Answer 1

那个。。。楼主我想问一下，你的(x^)和√(1+x^)这两项都是在分母上吧？因为我觉得要是√（1+x^）在分子上的话，你肯定会紧接着写在∫后面，我是按照两个都在分母做的，要是搞错了，麻烦到时候说一声！

原积分=∫[dx/[(x^*√(1+x^)]
令x=tant，则有t=arctanx，积分上下限分别变为:t=artan√3=π/3，和 t=arctan1=π/4，而且有：√(1+x^)=√(1+tan^t)=√sec^t=sect;
x^=tan^t，dx=d(tant)=sec^tdt
于是，原积分化为：
∫sec^tdt/(tan^t*sect)
=∫sectdt/tan^t
=∫(1/cost)*dt/(sin^t/cos^t)
=∫cost*dt/sin^t
=∫d(sint)/sin^t
=∫(sint)^(-2) *d(sint)
=-(sint)^(-1)
=-1/sint
将上下限t=π/4和π/3分别代入，可求出：
原定积分=-1/sin(π/3)+1/sin(π/4)=√2 - 2√3/3

Answer 2

另一种方法：
设t=1/x dx=-dt/t^2
∫dx/x^2*(x^2+1)^(1/2)
=∫-dtt^2|t|/t^2*(1+t^2)^(1/2)
=-sgn(x)∫tdt/(1+t^2)^(1/2)
=-sgn(x)(1+t^2)^(1/2)+C=-(1+x^2)^(1/2)/x+C
得定积分为2^(1/2)-2/3^(1/2)